雅可比矩阵是什么雅可比矩阵和行列式介绍

1，Jacobian matrix and determinant

在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数(就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数)的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。

如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。

2，雅可比矩阵数学定义

假设函数f可以将一个n维向量undefinedxundefined(undefinedxundefined∈Rn)变成一个m维向量f(undefinedxundefined),undefinedf(xundefined)∈Rm，

(显然f是由m个实函数组成的函数)

则函数f的雅可比矩阵undefinedJf可以定义如下：

undefinedJf=[∂x1∂f...∂xn∂f]=⎣⎢⎡∂x1∂f1⋮∂x1∂fm...⋱...∂xn∂f1⋮∂xn∂fm⎦⎥⎤

对于单个元素而言，可以定义如下：

undefinedJij=∂xj∂fi

函数f的雅可比矩阵的其它标记方法为undefined∂(x1,...,xn∂(f1,...,fm)

3，例子

3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换

在这里插入图片描述

3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换

在这里插入图片描述

3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换

在这里插入图片描述

3.4 三维空间到四维空间的变换

在这里插入图片描述

3.5 三维空间到三维空间的变换

在这里插入图片描述

4，雅可比矩阵意义

雅可比矩阵undefinedJf(p)就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射(因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换)，它代表着函数f在点p处的最优线性逼近，也就是当x足够靠近点p时，我们有

undefinedf(x)≈f(p)+Jf(p)∗(x−p)

这跟2维空间中在某点附近线性逼近一段曲线很类似，如果雅可比矩阵只有一个元素，它就等于2维空间中曲线在某点处的导数。

Note: 微分的本质就是线性化，在局部用线性变化代替非线性变化。

5，雅可比行列式意义

代表经过变换后的空间与原空间的面积(2维)、体积(3维)等等的比例，也有人称缩放因子。

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